Procediamo ora a introdurre alcuni elementi importanti:
Osservando le frecce in figura si può vedere la base del logaritmo” a” assumere un’altra modalità matematica, cioè la formerà l’eguaglianza dove il logaritmo “X” è l’esponente che si deve dare alla base “a” per ottenere il numero “N” di cui si vuole il logaritmo.
Facciamo un esempio: \( log_{10}100 = x \) l’eguaglianza: \( 10^x = 100 \) dunque, l’eguaglianza è soddisfatta per x = 2. Così, diremo che il logaritmo di 100 in base 10 è 2. sia da calcolare \( log_{10}1000 = x \) questo corrisponde all’eguaglianza: \( 10^x = 1000 \) che è soddisfatta per x = 3. Così, diremo che il logaritmo di 1000 in base 10 è 3.
sia da calcolare \( log_{a}a = x \) questo corrisponde all’eguaglianza: \( a^x = a \) che è soddisfatta per x = 1. Così diremo che il logaritmo di un numero, a, calcolato in base, a, è sempre 1. Si faccia attenzione: il logaritmo di 8 in base 8 è 1; il logaritmo di 22 in base 22 è 1; e così via.
Assumendo sempre l’ipotesi a > 0 , b > 0 ed a \( \neq \)1 si può definire la funzione inversa della funzione esponenziale \( b = a^x \) essa prende il nome di funzione logaritmica:
x=\( log_a (b) \) a prende il nome di base, mentre b è l’argomento del logaritmo.
Quindi il logaritmo di b (reale) rispetto alla base a è definito come il numero reale x cui bisogna elevare la base a perché si ottenga\( a^x = b \).
Quindi riassumendo, per definizione, si ha:
Proprietà dei logaritmi
In base alla definizione di logaritmo e alle proprietà delle potenze si hanno le seguenti proprietà:
\( log_a (b\cdot c) \implies log_a a + log_a c \)
\( log_a \left(\frac{b}{c}\right) \implies log_a b – log_a c \)
\( log_ab^c = c\cdot log_ab \)
\( log_a \sqrt[n]{b} \implies \frac{1}{n} \cdot log_a b \)
caso particolare : \( log_a \frac{1}{b} \implies- log_ab \)
Inoltre è possibile passare da una base ad un’altra mediante l’applicazione della formula seguente:
\( log_bx\implies \frac{log_ax}{log_ab} \)
Vediamo ora altri casi particolari:
I logaritmi in base 10, cioè \( log_{10}b \) sono detti DECIMALI.
I logaritmi in base e (e \( \cong \) 2.7183), cioè \( log_{e}b \) (oppure in b) sono detti NATURALI o NEPERIANI.
